Qué es la Geometría

Por: Rodolfo Bueno
Fuente: Rebelión (13.12.12)

La Geometría nace en los mismos albores de la humanidad, pues el hombre primitivo clasifica, según sus formas, los objetos que lo rodean. Esta tarea abstracta lo impulsa a acercarse intuitivamente a esta ciencia, que en el Egipto de los faraones tiene carácter práctico, porque las fórmulas son usadas como recetas para calcular áreas y longitudes. Los funcionarios del faraón buscan conocer la configuración de cada parcela para reconstruirlas después de que el Nilo las inunde y también determinar de antemano la producción para el cobro de los impuestos.

El alto contenido matemático de la geometría y su gran acervo de conocimientos se desarrollan en la magna Grecia, donde Tales, Pitágoras y Euclides la convierten en el estudio del orden espacial por medio de la medición de la relación de las formas de las figuras geométricas. Tales vive en Egipto donde aprende todos sus conocimientos; los sumos sacerdotes, que le habían enseñado gran parte de sus secretos, se asombran cuando él mide, a partir de la sombra proyectada, la altura de la Pirámide de Keops y predice un eclipse solar.

Para Platón, la geometría y los números son la quinta esencia del lenguaje filosófico y son el ideal simbólico de la verdad espiritual. Por eso inscribe a la entrada de su escuela: “Nadie entre aquí si no es geómetra”; de ahí que se le atribuya a este filósofo la frase: “Dios siempre hace geometría”. Cuando se habla del dios geómetra, se hace referencia a Apolo, en cuyo templo está grabada la inscripción: Gnothi séauton, o sea, conócete a ti mismo, que evoca a la gnosis y al conocimiento adquirido por la vía de la Geometría, ya que los griegos le otorgan a este hijo de Zeus el dominio de las ciencias y las artes.

Fue Grecia, heredera de las culturas egipcia y mesopotámica, la que formaliza los conocimientos de estas civilizaciones y la que da el paso abstracto de considerar a los objetos como entes ideales, que pueden ser manipulados mentalmente con la sola ayuda de la regla y el compás; también en este país aparece la demostración como justificativo de la veracidad del conocimiento humano.

En la Escuela Pitagórica, la geometría, junto con las demás ramas de la matemática, es considerada como una preparación básica, indispensable para acceder al conocimiento superior. La figura de Pitágoras juega un rol central, pues eleva el concepto de número a la categoría de elemento primigenio, algo que hasta en la actualidad se da de manera explícita e implícita dentro de la matemática y la física. Los pitagóricos convierten así a la geometría en el ideal de su doctrina y consideran a la demostración como la única vía para el establecimiento de la verdad. Con ayuda de la geometría, Eratóstenes mide el tamaño de la Tierra y la distancia que la separa de la luna; así mismo, siglos después, Arquímedes inventa la palanca y una especie de rayo de la muerte, que concentra la luz del sol en un punto, que hace arder a distancia las naves del enemigo.

El teorema de Pitágoras genera la primera crisis de la matemática, pues aparecen los números inconmensurables, o sea los números irracionales que no son el resultado de la división de dos enteros; esta crisis es más de carácter aritmético que geométrico. Sucede que si se da a cada cateto el valor de uno, la hipotenusa mide raíz de dos, número que para los griegos no existe por ser inconmensurable, y llaman a este tipo de números irracionales porque los imaginan raros y excepcionales. Con el tiempo, veinticuatro siglos después, Cantor demuestra que los racionales no son ni siquiera una partícula insignificante de los irracionales.

También aparece en Grecia un problema de lógica pura: Para demostrar un resultado, denominado tesis, se parte de una o de varias hipótesis. La veracidad de la tesis depende de la validez del razonamiento con que se la obtiene y de la veracidad de las hipótesis. Entonces se debe partir de hipótesis ciertas para poder confirmar la tesis. Determinar la veracidad de la hipótesis exige considerarla como una tesis, cuya hipótesis se deberá comprobar también. Se entra, aparentemente, en un callejón sin salida, en un proceso sin fin en el que, a su vez, cada hipótesis se convierte en tesis a probar.

Euclides zanja esta cuestión al proponer un sistema en el que se acepta sin demostración la veracidad de ciertas hipótesis, a partir de las cuales se deduce la tesis. Su sistema se halla sintetizado en su obra cumbre, “Los Elementos”, modelo axiomático deductivo que se basa en cinco postulados y definiciones precisas, que constituyen toda la geometría y la aritmética de entonces. Con Euclides se cierra definitivamente la geometría griega y, por extensión, la del mundo antiguo y medieval.

A pesar de que veracidad del quinto postulado está fuera de toda duda, trae desde sus inicios el problema de si puede ser deducido de los otros cuatro. Durante los siguientes milenios, uno de los principales trabajos en la geometría va a consistir en determinar si el quinto postulado es dependiente de los otros cuatro, o sea si puede ser considerado un teorema deducible de los otros. Hasta la alta Edad Media en las escuelas y en las universidades se enseña “Los Elementos”, pero aunque nunca se llega a dilucidar si el quinto postulado es o no independiente de los otros cuatro, se le dan nuevas formulaciones equivalentes. Este postulado es posteriormente sintetizado y sostiene que por un punto fuera de una recta pasa una sola recta paralela a dicha recta.

Además de la disputa sobre si el quinto postulado es o no un teorema, la posteridad hereda tres problemas que la geometría griega fue incapaz de resolver: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. Es importante recalcar que estos se deben resolver con el empleo de la regla y el compás como instrumentos únicos. Hay que añadir que la regla sólo traza rectas, no mide distancias, y el compás sólo traza circunferencia y traslada distancias, pero no mide ángulos, algo a lo que no estamos acostumbrados porque con la regla y el compás usual si se lo hace.

La leyenda cuenta que una terrible peste asola la ciudad de Atenas y que incluso Pericles muere como consecuencia de la misma. Una delegación de la ciudad va al oráculo de Delos para consultar qué hacer para erradicar la mortal enfermedad. La respuesta es que hay que duplicar el altar consagrado a Apolo, cuya forma es cúbica. Los atenienses construyen un nuevo altar cuyas aristas son el doble de las del anterior, pero la peste no cesa y se vuelve más mortífera. Van a consultar otra vez al oráculo, que les advierte que el nuevo altar no es el doble de grande sino ocho veces mayor. La trisección de un ángulo consiste en dividir un ángulo dado en tres ángulos iguales. La cuadratura del círculo consiste en construir un cuadrado cuya área mida exactamente la de una circunferencia dada, o viceversa. Se cuenta que Anaxágoras intenta resolver este problema en la celda donde está preso por explicar fenómenos naturales que se atribuyen a los dioses. Estos tres problemas persisten durante milenios y todo matemático los intenta resolver, por lo que se convierten en paradigmas de lo imposible.

Gauss deduce una geometría en la que, sin ser contradictoria, no se cumple el quinto postulado, pero le asusta tanto el resultado que no publica su descubrimiento. Fueron Bolyai y Lobachevsky quienes independiente y simultáneamente dan a conocer al mundo una geometría con postulados idénticos a los de Euclides, excepto el quinto, y postulan que por un punto, que no pertenece a una recta, pasa un número infinito de rectas paralelas a la misma; lo que, aunque no sea intuitivo, es perfectamente válido desde el punto de vista de la lógica formal.

Galois, uno de los más célebres genios del siglo XIX, muere en un duelo a los veintiún años, pero deja en un cuaderno escrito la noche anterior la exposición de sus ideas. En sus notas concluye que una ecuación de quinto o mayor grado no es resoluble mediante fórmula alguna y demuestra también que es imposible con la sola ayuda de la regla y el compás trisecar un ángulo cualquiera o duplicar un cubo.

En 1862, Lindemann demuestra que el número π (pi) es trascendente. Esto implica que es imposible construir con sólo la regla y el compás un cuadrado de área igual a la de un círculo dado, con lo que son resueltos los tres problemas heredados de la antigua Grecia.

El 10 de junio de 1854, Bernhard Riemann dicta una conferencia en la Universidad de Gotinga. El tema es: “Sobre las hipótesis que están en los fundamentos de la geometría”. Su contenido se constituye en uno de los mayores logros científicos de la humanidad. De los presentes sólo su antiguo profesor, Gauss, escucha entusiasmado y es el único en capacidad de comprenderlo.

En la primera parte de su conferencia generaliza el concepto de superficie para cualquier número arbitrario de dimensiones, demuestra que la geodésica es la curva que minimiza la distancia entre dos puntos sobre cualquier superficie, es decir, un concepto análogo al de la recta en el plano, donde esta línea determina la menor distancia entre dos puntos. Encuentra que existen superficies en las que los triángulos formados por las geodésicas suman más de ciento ochenta grados y otras, en las que suman menos, lo que contradice al quinto postulado de Euclides.

Según Riemann, es la métrica del espacio, o sea la manera con que se mide la distancia que separa a dos puntos, lo que determina la geometría del espacio. Por ejemplo, el plano no es por sí mismo el plano euclidiano sino que con una métrica se cumple el quinto postulado, pero, con otra métrica, como la de Lobatchevsky, no se verifica dicho postulado. Debe transcurrir mucho tiempo para que sus ideas, avanzadas para la época, cuajen cuando Einstein y Poincare, al mismo tiempo pero de manera independiente, las apliquen para crear la Teoría de la Relatividad.

La gran revolución de la geometría la realiza Félix Klein, que en 1871 descubre que la geometría euclidiana y las no euclidianas son casos particulares de la geometría proyectiva y que la geometría euclidiana es consistente, o sea que no es contradictoria, si y sólo si son consistentes las geometrías no euclidianas. El aporte más importante de Klein es el Programa de Erlangen, donde da una nueva definición de geometría. En 1872 escribe una memoria que se puede considerar, junto con la Conferencia de Riemann y los Elementos de Euclides, como los puntos más esenciales de la geometría.

El Programa de Erlangen es bastante sencillo y trata de dar una definición formal sobre qué es geometría, más allá de la idea intuitiva que de ella se tenga, pues hay tantas que la pregunta es lógica, ya que está claro que no se trata del estudio de puntos, rectas y planos. Klein da la respuesta a esta pregunta introduciendo en la geometría el concepto de grupo, o sea un conjunto en el que está definida una operación. Descubre que la geometría es el estudio de las propiedades invariantes, que no cambian al aplicarles una transformación de tipo grupal. Las transformaciones que permanecen invariantes deben tener estructura de grupo para la operación de composición, o sea para la aplicación sucesiva de la misma transformación al resultado de la primera. Así descubre que, por ejemplo, la geometría euclidiana es el estudio de los invariantes mediante el grupo de los movimientos rígidos (como las simetrías, los giros y las traslaciones).

El descubrimiento de Klein es fundamental porque permite clasificar las geometrías, comprender cuál es la estructura general de cada una y, por último, confirmar que el método sintético y analítico no da geometrías distintas sino que realmente estudia en cada caso la misma geometría, lo que pone fin a la distinción entre ambos métodos. Klein consagra a la geometría proyectiva como la reina de las geometrías. Con él, por primera vez, una ciencia fue capaz de definirse a sí misma de manera rigurosa, por lo tanto, su pensamiento constituye el punto culminante del espíritu humano.

Rebelión ha publicado este artículo con el permiso del autor mediante una licencia de Creative Commons, respetando su libertad para publicarlo en otras fuentes.

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