El lenguaje matemático

Por: Roberto Araya Schulz
Fuente: http://www.icalquinta.cl

Título original “El aprendizaje de las matemáticas”

Conocimiento es saber hacer cosas y entonces, el aprendizaje parte por la imitación. En un primer estadio, aprendizaje es imitación de movimientos, de acciones con las manos, de gestos manuales y faciales. Imitación tanto de acciones simples como de tareas sofisticadas, compuesta de complejas estructuras lógicas y jerárquicas de metas y submetas. En un segundo estadio evolutivo, aparece la articulación de sonidos y la consiguiente imitación de ellos. Comienza por sonidos de aviso de depredadores, sonidos para el cotejo y apareamiento, sonidos de aviso de la presencia de presas, sonidos para organizar el ataque. La precisión y grado de distinción de los sonidos depende en gran parte de la capacidad de movimientos de la lengua. El biólogo evolucionario, Jhon Allman, destaca que nosotros, los homo sapiens sapiens, tenemos un orificio en el cráneo por donde pasa el nervio que controla los movimientos de la lengua, que es 1.8 veces más grande que el orificio respectivo de los grandes simios y el australopitecus. El tamaño actual de este orificio se habría alcanzado hace unos 300.000 años atrás. De esta forma, nuestra capacidad de movimientos finos de la lengua es muy superior a la del chimpancé, orangután y gorila, y, por tanto, podemos reproducir una gama mucho mayor de sonidos.

Los sonidos básicos de aviso de depredadores, presas y de cotejo los tienen muchos animales. Requieren un movimiento simple y repetitivo de la lengua y laringe. Son automáticos, como los de la risa, llanto o sollozos. Para producir los sonidos de nuestro lenguaje se requiere un control mucho más preciso de la lengua y laringe, y hacerlo en muy corto tiempo. Según el neurocientista Terrence Deacon, para lograr esto se requiere una mayor capacidad del cerebelo, que en los humanos es proporcionalmente mucho más grande que en el resto de los simios.

Los sonidos así producidos son la base del lenguaje, que no sólo expresa la presenciad e otros organismos sin oque también permite describir una gran variedad de objetos, sus posiciones, movimientos e intenciones. De esta forma, el lenguaje se convierte en un poderoso descriptor espacial, de relaciones de causalidad y de estructuras y relaciones sociales. Por esta razón está dominado por metáforas espaciales, causales y sociales, tal como lo ilustran frases como: “esta idea está por encima de las anteriores”, “esta idea es consecuencia de las anteriores”, “esta idea hereda varios componentes de las anteriores”.

La gramática tendría al parecer su origen en la necesidad de producir con sonidos, y por lo tanto en forma secuencial, relaciones espaciales y causales. Es aquí importante observar las restricciones que conlleva traducir relaciones presentes en un formato espacial en dos o tres dimensiones y que se preguntan en simultaneidad a un formato estrictamente serial. Una buena conjetura es que en esa traducción nace gran parte de la sintaxis y la gramática.

El lenguaje es muy poderoso. Su naturaleza composicional la hereda de la sofisticada capacidad composicional de acciones manuales y corporales, pero hace posible un grado de creación de nuevas estructuras de mucho mayor potencia. Permite así imitaciones mucho más poderosas que con gestos manuales. La transmisión de narrativas, leyendas, canciones e historias permite divulgar conocimientos más detallados y más permanentes. Hace posible crear nuevas formas de comunicación y desencadenar la propagación de información de mucho mayor complejidad. Permite un aprendizaje muy superior a la simple imitación. Algo como una súper imitación.

El estadio siguiente es la escritura: un sistema de marcas en la arena, piedra, papel u otro medio que forma una memoria de trabajo externa sobre las que se apoyan nuestras memorias de trabajo biológicas. La escritura es una memoria externa infinita e indeleble, no decae, no sintetiza ni resume, no produce falsas memorias ni reconstrucciones dudosas. Es fácilmente transportable. Es portátil. Y aquí viene la idea clave: permite la acumulación y desarrollo progresivo de comunicados e ideas. Hace posible un constante refinamiento, no sólo realizado por un individuo sino por múltiples actores. Es una memoria de trabajo colectiva. Con la escritura aparecen preguntas nuevas, emergen gradualmente interrogantes nunca antes imaginadas. Es un nuevo medio, que no sólo permite otra velocidad y mayor alcance de propagación de información, sino que hace posible la emergencia de nuevos mecanismos de composición y reproducción de ideas.

La escritura es muy superior al lenguaje, pues este debe pasar por un filtro inevitable: debe comenzar a ser asimilado por niños muy pequeños de menos de dos años de edad. Adicionalmente, cualquier encadenamiento de ideas efectuadas con el lenguaje debe considerar la restricción implacable de una muy corta duración de la memoria de trabajo de 2 a 30 segundos, y una capacidad de almacenamiento muy limitada: no más de 7 items. A pesar del enorme desarrollo del córtex prefontal que en los humanos es el doble de lo que sería en simios de nuestro tamaño, las actividades de planeación y consecución de metas se ven muy limitadas por las restrictivas capacidades de las memorias de trabajo y por el carácter cuestionable y variable de las memorias de largo plazo. Estas restricciones son mágicamente levantadas mediante la escritura.

Sin embargo, la escritura es mucho más difícil de aprender. No es de imitación innata. Requiere trabajo y paciencia. Años de lento pero constante aprendizaje. A cambio, otorga enormes beneficios. Por ejemplo, gracias a ella nos permite superar la restricción milenaria de 150 individuos como tamaño máximo de la tribu. Limitación que según el antropólogo Robin Dunbar es función directa del tamaño relativo del neocórtex respecto al cerebro total. En otros simios, los tamaños de los grupos son más pequeños debido al tamaño menor del neocórtex. De esta manera, la poderosa capacidad de anotar en una memoria indeleble e ilimitada de compromisos de intercambio social, hace posible la emergencia de sociedades de millares de individuos. Con la escritura nacen el comercio, los ejércitos y los estados.

El cuarto estadio es el lenguaje matemático: un refinamiento del lenguaje natural y la escritura, especialmente adaptado para describir relaciones entre fenómenos. Es el lenguaje sobre el cual se apoya la ciencia. Parte con elementos para describir la individuación y la contabilización de objetos, la creación y especificación de escalas de medidas, y la descripción detallada de relaciones de dependencia y correlaciones entre diferentes factores. Factores que pueden ser tanto de naturaleza cuantitativa como cualitativa. Este refinamiento del lenguaje y la escritura permite especificar en forma detallada relaciones bien determinadas, muy precisas, así como relaciones con componentes aleatorios. Producto del desarrollo de los últimos milenios de civilización, el poderoso lenguaje matemático ha experimentado en los últimos siglos un desarrollo exponencial.

El lenguaje natural ha co-evolucionado junto con el cerebro durante los últimos millones de años. Esta co-evolución significa una evolución tanto del lenguaje como del cerebro. Por una parte, el lenguaje evoluciona muy rápidamente, adaptándose oportunísticamente a las capacidades cerebrales. Por otra parte, el cerebro también evoluciona, pero a escala geológica. En esos millones de años se ha producido una evolución Baldwiniana, en la que habilidades adquiridas y que ofrecen ventajas competitivas (mejor comunicación, ayuda a la sobre vivencia), son después de miles de generaciones traspasadas al genoma. Por esta razón cerebro y lenguaje están hoy en día muy ajustados el uno al otro, y el lenguaje nos parece innato. La escritura y la matemática, por el contrario, no han podido operar en la misma escala temporal, y por lo tanto no han tenido el tiempo suficiente para alterar la estructura cerebral. En matemáticas, sólo nos son innatas las capacidades más elementales, tal como contar, agrupar y realizar algunas transformaciones espaciales. Muchas de esas capacidades elementales las compartimos con otros animales. Pero el resto de la matemática es muy reciente. Por eso hay mucha variabilidad entre individuos. Sólo algunos pocos la entienden y contribuyen a su desarrollo. Para la gran mayoría, muchos de los conceptos matemáticos parecen ajenos, artificiales e intrincados.

Ahora bien, la ciencia es un conjunto de actividades que realizamos para comprender el mundo. Para entender y explicarnos como funciona. Pero, explicar es mapear un fenómeno a otro conocido. Es decir, aprovechar un fenómeno bien conocido como instrumento de explicación de otro más nuevo o menos conocido. O sea, explicar es metaforear. De esta forma, a través de los siglos, han surgido varios tipos de explicaciones o metáforas.

Uno de los primeros tipos de metáforas que surgieron son las metáforas sociales. Estas son las que nos parecen más naturales. Prácticamente todas las religiones explican los fenómenos en términos de interacciones entre sujetos (dioses, semidioses y humanos). El trueno, la tempestad y la lluvia tienen relación con luchas entre dioses, y las ofrendas de vidas humanas son hechas para obtener favores del Dios respectivo. Las relaciones padre-hijo también están presentes entre los dioses así como muchas otras cuestiones y relaciones familiares. Similarmente, muchas de las explicaciones más populares del psicoanálisis son de carácter familiar-social. Por ejemplo, el complejo de Edipo. Quizás sea la naturaleza social de muchas de las explicaciones psicoanalíticas lo que haya convertido el psicoanálisis en uno de los marcos conceptuales más influyentes en las artes plásticas y la literatura de este siglo.

Otro tipo de explicaciones son las mecanicistas. La idea de que el universo o cualquiera de sus partes es finalmente un mecanismo, una especie de complicado reloj, con engranajes, rotores, resortes, hilos y correas de transmisión, se hizo muy popular algunos siglos atrás. Aparentemente, este fenómeno se debería al auge de diferentes mecanismos industriales, máquinas de guerra e instrumentos mecánicos de alta precisión que poco apoco nos han permitido dominar parte de la naturaleza. En una explicación mecanicista típica mapeamos el fenómeno a uno de física innata o a fenómenos físicos bien conocidos.

Otras metáforas que han sido utilizadas para la comprensión de fenómenos son la metáfora Termodinámica y/o Hidráulica, utilizada principalmente por Freud y que domina gran parte de nuestro lenguaje sobre estados mentales y emocionales. Por ejemplo, represiones, tensiones, válvulas de escape y otros vocablos que dan la idea de un estanque u olla con vapor a presión. Otra metáfora muy usada es la de la Central Telefónica (el conmutador), en que la red de conexiones es el modelo paradigmático. Otra, es la metáfora del Computador, en que diferentes módulos o cajas procesan información binaria. Otra metáfora muy de moda es la de la Evolución, donde los contructos principales son los replicadores, las elección, la adaptabilidad y la variabilidad.

Sin embargo, lo importante es observar que todas estas metáforas pueden llegar a expresarse como modelos matemáticos. Claro, pues todo lo que importa no es más que describir las relaciones funcionales entre los factores involucrados. Este es el punto clave. Lamentablemente, esto no es entendido. Y muchos ven en esta afirmación un determinismo o mecanicismo absoluto. Pero la cosa es que lo único que se afirma es que si se postulan relaciones entre diversos factores y aunque estas relaciones sean sólo cualitativas o probalísticas, entonces ya estamos en el dominio de la descripción matemática. Y así, la metáfora social, mecánica o hidráulica, es sólo una imagen mental subyacente que nos inspira y sugiere conjeturas e hipótesis sobre las posibles relaciones entre factores.

Por ejemplo, para Vilayanur Ramachandran, famoso neurólogo hindú por sus investigaciones y terapias de miembros fantasmas, la idea de explicar un fenómeno a partir del comportamiento e interacción entre sus componentes, es lejos la estrategia más exitosa de la ciencia. Ramachandran recalca, citando al biólogo Peter Medawar, que esto se traduce en que: “el todo es función (en el sentido matemático) de sus partes”, y que ésta es la aproximación correcta para el estudio de los fenómenos mentales.

Quizás uno de los fracasos más patentes de nuestro sistema educacional actual y, en particular, de la educación en matemáticas, es que prácticamente ninguno de nuestros estudiantes queda con la idea de que la matemática es el lenguaje para describir los fenómenos de este mundo. A lo más se imaginan que podría servir para describir fenómenos físicos o químicos. Esta situación explicaría porqué prácticamente nadie considera que la matemática le será relevante en su vida diaria, y la vea sólo como una serie de ejercicios de gimnasia mental. Superar esa realidad debe ser una de las principales misiones de la educación matemática.

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